Exercice 1 (L'identité du parallélogramme). Soit $E = \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{C})$ l'espace des fonctions continues à valeurs complexes sur $[0,1]$, muni de la norme $$ \|f\|_\infty = \sup_{t \in [0,1]} |f(t)|. $$

Montrer que $(E, \|\cdot\|_\infty)$ n'est pas un espace pré-hilbertien.

Indice

Il faut montrer que la norme ne peut pas découler d'un produit scalaire, et donc trouver un contre-exemple à l'identité du parallélogramme. Essayez avec des fonctions simples.

Solution

Il suffit de montrer que $\|\cdot\|_\infty$ viole l'identité du parallélogramme :

$$ \|f + g\|^2 + \|f - g\|^2 = 2\bigl(\|f\|^2 + \|g\|^2\bigr). $$

Posons $f(t) = 1$ et $g(t) = t$. On calcule :

$$ \|f\|_\infty = 1, \quad \|g\|_\infty = 1, \quad \|f+g\|_\infty = \sup_{t\in[0,1]}|1+t| = 2, \quad \|f-g\|_\infty = \sup_{t\in[0,1]}|1-t| = 1. $$

On obtient alors :

$$ \|f+g\|_\infty^2 + \|f-g\|_\infty^2 = 4 + 1 = 5 \neq 4 = 2\bigl(\|f\|_\infty^2 + \|g\|_\infty^2\bigr). $$

L'identité du parallélogramme n'est donc pas satisfaite, ce qui implique que $\|\cdot\|_\infty$ ne peut être induite par aucun produit scalaire. L'espace $(E,\|\cdot\|_\infty)$ n'est pas pré-hilbertien.

Exercice 2 (L'opérateur de décalage sur $\ell^2(\mathbb{N})$). On rappelle que $\ell^2(\mathbb{N})$ désigne l'espace des suites $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de nombres complexes vérifiant $\sum_{n=0}^{\infty} |x_n|^2 < \infty$, muni du produit scalaire $\langle x, y \rangle = \sum_{n=0}^{\infty} x^*_n y_n$.

On définit l'opérateur de décalage à droite $T \colon \ell^2(\mathbb{N}) \to \ell^2(\mathbb{N})$ par :

$$ T(x_0, x_1, x_2, ...) = (0, x_0, x_1, x_2, ...). $$

Montrer que $T$ est une isométrie linéaire.
$T$ est-il un isomorphisme hilbertien (opérateur unitaire) ?

Solution

Linéarité. Pour $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ et $x, y \in \ell^2(\mathbb{N})$ : $$ T(\alpha x + \beta y) = (0, \alpha x_0 + \beta y_0, \alpha x_1 + \beta y_1, ...) = \alpha T(x) + \beta T(y). $$
Isométrie. On vérifie la conservation de la norme :
$$ \|T(x)\|^2 = |0|^2 + \sum_{n=0}^{\infty} |x_n|^2 = \|x\|^2. $$ Donc $T$ est une isométrie, et en particulier $T$ est injectif (car $\|T(x)\| = 0 \Rightarrow \|x\| = 0 \Rightarrow x = 0$).
$T$ n'est pas un isomorphisme hilbertien. Un isomorphisme hilbertien doit être bijectif. Or $T$ n'est pas surjectif : la suite $y = (1, 0, 0, ...) \in \ell^2(\mathbb{N})$ n'admet aucun antécédent par $T$, car la première composante de tout $T(x)$ est $0$.
Ainsi, $T$ est une isométrie non unitaire. Cet exemple illustre un phénomène propre à la dimension infinie : en dimension finie, toute isométrie linéaire est automatiquement surjective (argument de dimension), ce qui n'est plus vrai en dimension infinie.

Exercice 3 (Représentant de Riesz en dimension finie). Soit $E = \mathbb{C}^n$ muni du produit scalaire usuel $\langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^n x_k^* y_k$. Soit $\varphi \colon E \to \mathbb{C}$ la forme linéaire définie par $$ \varphi(x) = \sum_{k=1}^n a_k x_k, \qquad (a_1, ..., a_n) \in \mathbb{C}^n. $$

Déterminer le représentant de Riesz $u_\varphi \in E$ tel que $\varphi(x) = \langle u_\varphi, x \rangle$ pour tout $x \in E$.
Montrer que l'application $\varphi \mapsto u_\varphi$ est antilinéaire.

Solution

On cherche $u = (u_1, ..., u_n)$ tel que $\langle u, x \rangle = \sum_k u_k^* x_k = \sum_k a_k x_k$ pour tout $x \in E$. Par identification composante par composante, $u_k^* = a_k$, soit $$ u_\varphi = (a_1^*, ..., a_n^*). $$
Soient $\varphi, \psi$ deux formes linéaires de représentants $u_\varphi$ et $u_\psi$, et $\lambda \in \mathbb{C}$. Le représentant de $\lambda\varphi + \psi$ vérifie, pour tout $x$ : $$ \langle u_{\lambda\varphi+\psi}, x \rangle = (\lambda\varphi + \psi)(x) = \lambda\varphi(x) + \psi(x) = \lambda \langle u_\varphi, x \rangle + \langle u_\psi, x \rangle = \langle \lambda^* u_\varphi + u_\psi, x \rangle, $$
donc $u_{\lambda\varphi + \psi} = \lambda^* u_\varphi + u_\psi$. L'application $\varphi \mapsto u_\varphi$ est bien antilinéaire.

Exercice 4 (Algèbre des opérateurs de création et d'annihilation). Soit $H$ un espace de Hilbert. On suppose donnés deux opérateurs $a$ et $a^\dagger$ sur $H$ vérifiant la relation de commutation canonique $$ [a, a^\dagger] = \mathbf{1}. $$

On définit l'opérateur nombre $N = a^\dagger a$.

Montrer que $[N, a] = -a$ et $[N, a^\dagger] = a^\dagger$.
Soit $|n\rangle$ un vecteur propre de $N$ de valeur propre $\lambda \in \mathbb{C}$, $|n\rangle \neq 0$. Montrer que si $a|n\rangle \neq 0$, alors $a|n\rangle$ est vecteur propre de $N$ de valeur propre $\lambda - 1$, et que si $a^\dagger|n\rangle \neq 0$, alors $a^\dagger|n\rangle$ est vecteur propre de $N$ de valeur propre $\lambda + 1$.
Montrer que $\lambda \geq 0$. En déduire que le spectre de $N$ est $\mathbb{N}$ et que les valeurs propres sont des entiers.
Montrer que $$ \|a|n\rangle\|^2 = n, \qquad \|a^\dagger|n\rangle\|^2 = n+1. $$
En déduire, en choisissant les phases de sorte que les coefficients soient réels positifs :
$$ a|n\rangle = \sqrt{n} |n-1\rangle, \qquad a^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1} |n+1\rangle. $$

Solution

On développe en utilisant $[a, a^\dagger] = \mathbf{1}$ : $$ [N, a] = [a^\dagger a, a] = a^\dagger[a, a] + [a^\dagger, a] a = 0 - \mathbf{1}\cdot a = -a. $$
De même :
$$ [N, a^\dagger] = [a^\dagger a, a^\dagger] = a^\dagger [a, a^\dagger] + [a^\dagger, a^\dagger] a = a^\dagger \cdot \mathbf{1} + 0 = a^\dagger. $$
Supposons $N|n\rangle = \lambda|n\rangle$. Alors : $$ N\bigl(a|n\rangle\bigr) = [N,a]|n\rangle + a N|n\rangle = -a|n\rangle + \lambda a|n\rangle = (\lambda - 1) a|n\rangle. $$
Si $a|n\rangle \neq 0$, c'est donc un vecteur propre de $N$ de valeur propre $\lambda - 1$. De même :
$$ N\bigl(a^\dagger|n\rangle\bigr) = [N, a^\dagger]|n\rangle + a^\dagger N|n\rangle = a^\dagger|n\rangle + \lambda a^\dagger|n\rangle = (\lambda+1) a^\dagger|n\rangle, $$ donc $a^\dagger|n\rangle$, s'il est non nul, est vecteur propre de valeur propre $\lambda + 1$.
Pour tout $|\psi\rangle \in H$ : $$ \langle \psi | N | \psi \rangle = \langle \psi | a^\dagger a | \psi \rangle = \| a|\psi\rangle \|^2 \geq 0, $$
donc $N$ est un opérateur positif et toute valeur propre $\lambda$ vérifie $\lambda \geq 0$.
Supposons $\lambda \notin \mathbb{N}$. En appliquant $a$ répétitivement, on obtient la suite de valeurs propres $\lambda, \lambda-1, \lambda-2, ...$, qui finit par être strictement négative, ce qui contredit $\lambda \geq 0$. Donc le spectre est contenu dans $\mathbb{N}$ ; en appliquant $a^\dagger$ à partir de $|0\rangle$ (vecteur propre de valeur propre $0$, dont l'existence est assurée par l'argument de positivité), on construit tous les entiers.
En utilisant $[a, a^\dagger] = \mathbf{1}$ et $N = a^\dagger a$ : $$ \|a|n\rangle\|^2 = \langle n | a^\dagger a | n \rangle = \langle n | N | n \rangle = n. $$
Pour $a^\dagger$ :
$$ \|a^\dagger|n\rangle\|^2 = \langle n | a a^\dagger | n \rangle = \langle n | (a^\dagger a + \mathbf{1}) | n \rangle = n + 1. $$
Puisque $a|n\rangle$ est proportionnel à $|n-1\rangle$ (vecteur propre de valeur propre $n-1$, unique à une phase près dans une représentation irréductible), on peut choisir la phase pour écrire :
$$ a|n\rangle = \sqrt{n} |n-1\rangle, \qquad a^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1} |n+1\rangle. $$

Exercice 5 (Adjoint et projecteurs). Soit $H$ un espace de Hilbert complexe (antilinéaire à gauche). Rappelons que l'adjoint $A^\dagger$ d'un opérateur $A$ est défini par : $$ \langle u, A^\dagger v \rangle = \langle Au, v \rangle \qquad \forall u, v \in H. $$

Montrer que si $A$ est représenté par une matrice $(A_{ij})$ dans une base orthonormée, alors $(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^*$.
Soit $|\psi\rangle \in H$ un vecteur normalisé. On définit $P = |\psi\rangle\langle\psi|$, c'est-à-dire l'opérateur $P \colon |v\rangle \mapsto \langle \psi, v\rangle |\psi\rangle$. Montrer que $P$ est autoadjoint ($P^\dagger = P$) et idempotent ($P^2 = P$).
Montrer que $\mathbf{1} - P$ est également un projecteur orthogonal, et interpréter géométriquement.

Solution

Soient $|e_i\rangle$ une base orthonormée, $A_{ij} = \langle e_i, A e_j\rangle$. Par définition de l'adjoint : $$ (A^\dagger)_{ij} = \langle e_i, A^\dagger e_j \rangle = \langle A e_i, e_j \rangle = \langle e_j, A e_i \rangle^* = A_{ji}^*. $$
Autoadjonction. Pour tous $|u\rangle, |v\rangle \in H$ : $$ \langle u, P^\dagger v \rangle = \langle Pu, v \rangle = \langle \langle \psi, u \rangle \psi, v \rangle = \langle \psi, u \rangle^* \langle \psi, v \rangle = \langle u, \psi \rangle \langle \psi, v \rangle = \langle u, Pv \rangle, $$
donc $P^\dagger = P$.

Idempotence.
$$ P^2|v\rangle = P\bigl(\langle\psi,v\rangle|\psi\rangle\bigr) = \langle\psi,v\rangle P|\psi\rangle = \langle\psi,v\rangle \langle\psi,\psi\rangle |\psi\rangle = \langle\psi,v\rangle |\psi\rangle = P|v\rangle, $$ où l'on a utilisé $\langle\psi,\psi\rangle = 1$.
Posons $Q = \mathbf{1} - P$. Alors $Q^\dagger = \mathbf{1} - P^\dagger = Q$ et $Q^2 = \mathbf{1} - 2P + P^2 = \mathbf{1} - P = Q$. $Q$ est donc un projecteur orthogonal ; son image est le supplémentaire orthogonal $(\mathrm{Im} P)^\perp = \{|\psi\rangle\}^\perp$.

Exercice 6 (Troncature de l'oscillateur harmonique). On reprend les notations de l'exercice précédent. On note $H_N$ le sous-espace de dimension $N$ engendré par $\{|0\rangle, |1\rangle, ..., |N-1\rangle\}$. On définit les opérateurs tronqués $a_N$ et $a_N^\dagger$ comme les restrictions de $a$ et $a^\dagger$ à $H_N$, avec la convention $a_N|0\rangle = 0$ et $a_N^\dagger|N-1\rangle = 0$.

Écrire les matrices de $a_N$ et $a_N^\dagger$ dans la base $\{|0\rangle,...,|N-1\rangle\}$ pour $N = 4$.
Vérifier que $a_N^\dagger = (a_N)^\dagger$ au sens hilbertien sur $H_N$.
Calculer $[a_N, a_N^\dagger]$ et montrer que ce commutateur n'est plus égal à $\mathbf{1}_{H_N}$. Interpréter.

Solution

En utilisant $a|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle$ et $a^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle$ (avec annulation aux bords) : $$ a_4 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad a_4^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 \end{pmatrix}. $$
Par le résultat de l'exercice précédent, $(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^*$. Les matrices ci-dessus sont bien transposées conjuguées l'une de l'autre (les coefficients sont réels), donc $a_4^\dagger = (a_4)^\dagger$.
On calcule : $$ [a_4, a_4^\dagger] = a_4 a_4^\dagger - a_4^\dagger a_4. $$
Un calcul matriciel direct donne :
$$ a_4 a_4^\dagger = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad a_4^\dagger a_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, $$
d'où :
$$ [a_4, a_4^\dagger] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \mathbf{1}_{H_4} - |3\rangle\langle 3|. $$
La relation de commutation canonique $[a,a^\dagger]=\mathbf{1}$ est violée au niveau du dernier état de base : la troncature brise l'algèbre de Heisenberg, car $a_N^\dagger|N-1\rangle = 0$ alors que l'espace est « trop petit » pour accueillir $|N\rangle$.

Exercice 7 (Opérateur de rotation de spin et unitarité). On considère l'espace $H = \mathbb{C}^2$ (spin $1/2$) avec la base $\{|\!\uparrow\rangle, |\!\downarrow\rangle\}$. Les matrices de Pauli sont : $$ \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. $$

On définit l'opérateur de rotation autour de l'axe $z$ d'angle $\theta$ :

$$ U(\theta) = e^{-i\theta\sigma_z/2}. $$

En utilisant $\sigma_z^2 = \mathbf{1}$, montrer que : $$ U(\theta) = \cos\tfrac{\theta}{2} \mathbf{1} - i\sin\tfrac{\theta}{2} \sigma_z = \begin{pmatrix} e^{-i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{i\theta/2} \end{pmatrix}. $$
Vérifier que $U(\theta)$ est unitaire : $U^\dagger(\theta) U(\theta) = \mathbf{1}$.
Calculer l'opérateur $U(\theta) \sigma_x U^\dagger(\theta)$ et interpréter le résultat comme une rotation dans le plan $(x,y)$.

Solution

On développe l'exponentielle en série entière et on sépare les puissances paires et impaires, en utilisant $\sigma_z^{2k} = \mathbf{1}$ et $\sigma_z^{2k+1} = \sigma_z$ : $$ e^{-i\theta\sigma_z/2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-i\theta/2)^{2k}}{(2k)!} \mathbf{1} + \sum_{k=0}^\infty \frac{(-i\theta/2)^{2k+1}}{(2k+1)!} \sigma_z = \cos\tfrac{\theta}{2} \mathbf{1} - i\sin\tfrac{\theta}{2} \sigma_z. $$ En substituant $\sigma_z = \mathrm{diag}(1,-1)$, on obtient la matrice diagonale annoncée.
$U^\dagger(\theta) = \mathrm{diag}(e^{i\theta/2}, e^{-i\theta/2})$, donc : $$ U^\dagger(\theta) U(\theta) = \begin{pmatrix} e^{i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta/2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{-i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{i\theta/2} \end{pmatrix} = \mathbf{1}. $$
On calcule : $$ U(\theta) \sigma_x U^\dagger(\theta) = \begin{pmatrix} e^{-i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{i\theta/2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta/2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & e^{-i\theta} \\ e^{i\theta} & 0 \end{pmatrix}. $$
En décomposant :
$$ \begin{pmatrix} 0 & e^{-i\theta} \\ e^{i\theta} & 0 \end{pmatrix} = \cos\theta \sigma_x + \sin\theta \sigma_y. $$
C'est bien la rotation de $\sigma_x$ vers $\sigma_y$ d'angle $\theta$ dans le plan $(x,y)$ de l'espace des observables, conformément à la formule adjointe $U A U^\dagger$ pour les rotations unitaires.

Hilbert Spaces and Linear Operators